I numeri equilibrati

Definizione:
Diciamo un numero naturale squarefree (privo di quadrati) equilibrato se è composto da tante cifre (nella sua rappresentazione decimale) quanti sono i suoi divisori primi distinti.

Ad esempio 14 è equilibrato poichè è formato da due cifre ed ha due divisori primi: il 2 e il 7.

I numeri equilibrati di una sola cifra sono tutti e soli i numeri primi (ovviamente) e cioè

2, 3, 5, 7.

I numeri equilibrati a due cifre sono tutti i composti che han due soli divisori primi distinti: il più piccolo è

2 X 5 = 10.

All’apparenza al crescere del numero di cifre aumenta anche la quantità di numeri equilibrati… ma in realtà è semplice dimostrare che ne esiste solo un numero finito.

Per capire questo fatto prendiamo i primi dieci primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

e moltiplichiamoli tra di loro: otteniamo il più piccolo numero equilibrato di 10 cifre:

6469693230.

Esisteranno ovviamente altri numeri equilibrati di 10 cifre compresi tra 6469693230 e 9999999999. Ne possiamo ottenere facilmente un altro ad esempio cancellando il decimo della lista e sostituendolo con l’undicesimo primo, il 31.

Cerchiamo ora di costruire con lo stesso procedimento il più piccolo numero equilibrato di 11 cifre, e lo facciamo moltiplicando tra loro i primi 11 numeri primi… ma sorpresa: il risultato, 200560490130, vanta ben 12 cifre! Cioè non esistono numeri equilibrati di undici cifre. Si dimostra agevolmente a partire da questa osservazione che non esistono numeri equilibrati composti da più di dieci cifre.

Sarebbe interessante studiare il problema anche per altre basi e vedere cosa accade. Forse un giorno lo farò in un altro articolo, di certo non ora.