ippaso

La pendenza

In Uncategorized on ottobre 24, 2009 at 3:17 pm

Il primo post della nostra sezione “matematica sportva” è dedicata ai ciclisti. Gli obiettivi principali di ogni ciclista amatoriale sono due: scalare una salita più o meno famosa e conoscerne la pendenza (per potersi bullare con i colleghi).

Ma come si calcola la pendenza percentuale di una salita?

Chiamiamo “distanza percorsa” la distanza effettivamente percorsa dal ciclista, rilevabile con un computerino da bici. Poi chiamiamo “dislivello” la differenza di altitudine del punto di arrivo meno altitudine del punto di partenza.

salita, calcolo pendenze per i ciclistiCome vedete possiamo rappresentare la salita come un triangolo rettangolo. L’errore comune è ritenere la pendenza il rapporto tra distanza e dislivello. Secondo questo modo di pensare se la distanza fosse 10 e il dislivello 5 avremmo una pendenza del 50%.

Ma ciò è matematicamente errato.

La pendenza è il coefficiente angolare, ovvero il rapporto tra la differenza delle ascisse e la differenza delle ordinate. Nel nostro caso il rapporto dei due cateti del triangolo.

salita, angolo pendenza e coefficiente angolare

La pendenza del triangolo in figura è quindi data dal rapporto c1/c2 e non da c1/i come si può erroneamente pensare.

Notate che secondo questa definizione la pendenza 100% = 1 si ha quando i due cateti sono uguali, ovvero quando l’angolo x è di 45°. Molti pensano invece, erroneamente, che 100% coincida con la pendenza di un muro. Sbagliato: il muro ha pendenza infinita!

Come si passa dall’angolo x alla pendenza e viceversa?

Dunque è errato pensare che 100% = 90°, 50% = 45°, eccetera eccetera… del resto, fosse stato così semplice non avremmo neanche avuto bisogno della pendenza, ci sarebbe bastato misurare le salite in gradi…

La pendenza , dato l’angolo x, è data dalla tangente (seno diviso coseno) dell’angolo. Quando x = 45° la tangente vale 1. Una calcolatrice scientifica non troppo avanzata ha sempre il pulsante per il calcolo della tangente.

Ma se io sono in bicicletta come faccio allora a calcolare la pendenza?

Sfrutto il Teorema di Pitagora: se io conosco l’ipotenusa e un cateto, grazie al Teorema di Pitagora sono in grado di calcolare il secondo cateto, e quindi la pendenza.

Ma ora vi diamo una scappatoia per tutti questi calcoli, una scappatoia facile facile: quando l’angolo x è piccolo (e nel calcolo delle pendenze stradali spesso è così), il cateto maggiore diventa lungo quasi quanto l’ipotenusa. Potete notare questo fatto immaginando, nel disegno precedente, che C1 sia piccolissimo: l’ipotenusa va quasi a sovrapporsi a C2. Perciò l’errore che si compie calcolando la pendenza come rapporto tra distanza e dislivello è piccolo.

Esempio:

Il ciclista Ippaso percorre una salita di 10km, partendo da un’altitudine di 500 metri ed arrivando ad una di 1500 metri s.l.m. (dunque dislivello = 1000 metri). Calcoliamo insieme la pendenza media della salita.

La formula approssimata ci dice che la pendenza media è:

pendenza = 1000/10000 = 1/10 = 10%

Volendo fare i pignoli dovremmo invece prima calcolare il secondo cateto mediante teorema di Pitagora:

(C2)^2 = (10000)^2 – (1000)^2

da cui si ricava C2= 9949,874. Possiamo dunque calcolare la pendenza esatta:

pendenza = 1000/9949,874 = 0,100504 = 10,05%.

Come potete vedere l’errore è assolutamente accettabile, ma questa approssimazione può essere fatta però solo per pendenze “normali”. Affrontare una salita al 20% senza utilizzare il Teorema di Pitagora potrebbe invece rivelarsi una pazzia!

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  1. Ciao..Piccola questione..Se con pendenza intendi l’angolo di inclinazione della parete “scalata” rispetto all’orizzontale, allora a rigore la pendenza non è data dal rapporto c1/c2, ma dall’arcotangente di quel rapporto!?

    Un saluto,
    Fabio

    • L’arcotangente equivale all’ampiezza dell’angolo in questione, ma l’ampiezza dell’angolo e la pendenza sono cose ben diverse.

      Attraverso l’arcotangente, data la pendenza della salita, ricavi l’angolo.

      Se hai altri dubbi o non ne sei convinto, ogni risposta o critica è ben accetta. Nel frattempo puoi leggere questa pagina di wikipedia, nella quale è spiegata la stessa cosa.

  2. Ippaso, ho fatto un lungo giro tra i tuoi “numeri” e confesso che non sapevo ne esistessero di tante tipologie, perfino gli amicabili o i perfetti, mi hanno attratto. Pur comprendendo relativamente la matematica, riesco a capire bene come la spieghi tu. E solamente quando una cosa la si conosce bene, la si sa anche spiegare bene. E’ il dono dei bravi insegnanti. In casa mia c’è qualcuno che, in questo giorni, dovrà affrontare un esame universitario di statistica, non quella ad alto livello, ma quella che occorre conoscere per una professione futura. (Agraria). Sento parlare di deviazione standard, di chi quadrato, di varianza e mi sembrano parolacce. Ma è bene che si studi, io sono fanatica in questo e spesso dico che sarebbe bene, che anche l’idraulico avesse la laurea. Scusami per l’intevento lunghissimo, è uno dei miei tanti difetti. Te ne sarai accordo leggendo anche le mie risposte ai commenti. Comunque ti esprimo tutta la mia ammirazione e continua così. Un saluto carissimo.

    • Evito di dilungarmi con una noiosa e retorica dissertazione sulla bellezza della matematica, anche se la tentazione è forte, e mi limito a ringraziarti per le belle parole (e a fare un in bocca al lupo a tuo fratello).

      P.S.
      Lunga vita ai commenti lunghi!!!!

  3. se io so i km del percorso e con l’altimetro so anche l’altitudine che ho fatto ,sbaglio se procedo in questo modo per trovare la pendenza.
    ho fatto 4300 metri , 330 metri di dislivello = 7,7 metri di dislivello per 43 = 331 circa

    • Ciao lele!

      Tu insomma fai una divisione 330/4300 (e poi moltiplichi per 100). Giusto?

      Come detto nel post questa è una buona approssimazione della pendenza (anzi ottima direi).

      Per avere conferma di ciò pensiamo ora al disegno e alla spiegazione data prima… proviamo a calcolare precisamente la pendenza.
      Prima di tutto calcoliamo c2 con Pitagora: 4287 metri.
      Ora facciamo la divisione che avevi fatto prima:
      330/4287 = 0,07697

      Insomma, con i calcoli precisi ritroviamo comunque 7,7.
      Contando piccoli errori di misura, approssimazioni, e cose così…

      Possiamo dire che il tuo sistema veloce di calcolo della pendenza… funziona benissimo!

  4. X:Y

    X = 8 metri

    Y = 100 metri

    Risultato pendenza dell’otto per cento

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