La pendenza

Il primo post della nostra sezione “matematica sportva” è dedicata ai ciclisti. Gli obiettivi principali di ogni ciclista amatoriale sono due: scalare una salita più o meno famosa e conoscerne la pendenza (per potersi bullare con i colleghi).

Ma come si calcola la pendenza percentuale di una salita?

Chiamiamo “distanza percorsa” la distanza effettivamente percorsa dal ciclista, rilevabile con un computerino da bici. Poi chiamiamo “dislivello” la differenza di altitudine del punto di arrivo meno altitudine del punto di partenza.

Come vedete possiamo rappresentare la salita come un triangolo rettangolo. L’errore comune è ritenere la pendenza il rapporto tra distanza e dislivello. Secondo questo modo di pensare se la distanza fosse 10 e il dislivello 5 avremmo una pendenza del 50%.

Ma ciò è matematicamente errato.

La pendenza è il coefficiente angolare, ovvero il rapporto tra la differenza delle ascisse e la differenza delle ordinate. Nel nostro caso il rapporto dei due cateti del triangolo.

La pendenza del triangolo in figura è quindi data dal rapporto c1/c2 e non da c1/i come si può erroneamente pensare.

Notate che secondo questa definizione la pendenza 100% = 1 si ha quando i due cateti sono uguali, ovvero quando l’angolo x è di 45°. Molti pensano invece, erroneamente, che 100% coincida con la pendenza di un muro. Sbagliato: il muro ha pendenza infinita!

Come si passa dall’angolo x alla pendenza e viceversa?

Dunque è errato pensare che 100% = 90°, 50% = 45°, eccetera eccetera… del resto, fosse stato così semplice non avremmo neanche avuto bisogno della pendenza, ci sarebbe bastato misurare le salite in gradi…

La pendenza , dato l’angolo x, è data dalla tangente (seno diviso coseno) dell’angolo. Quando x = 45° la tangente vale 1. Una calcolatrice scientifica non troppo avanzata ha sempre il pulsante per il calcolo della tangente.

Ma se io sono in bicicletta come faccio allora a calcolare la pendenza?

Sfrutto il Teorema di Pitagora: se io conosco l’ipotenusa e un cateto, grazie al Teorema di Pitagora sono in grado di calcolare il secondo cateto, e quindi la pendenza.

Ma ora vi diamo una scappatoia per tutti questi calcoli, una scappatoia facile facile: quando l’angolo x è piccolo (e nel calcolo delle pendenze stradali spesso è così), il cateto maggiore diventa lungo quasi quanto l’ipotenusa. Potete notare questo fatto immaginando, nel disegno precedente, che C1 sia piccolissimo: l’ipotenusa va quasi a sovrapporsi a C2. Perciò l’errore che si compie calcolando la pendenza come rapporto tra distanza e dislivello è piccolo.

Esempio:

Il ciclista Ippaso percorre una salita di 10km, partendo da un’altitudine di 500 metri ed arrivando ad una di 1500 metri s.l.m. (dunque dislivello = 1000 metri). Calcoliamo insieme la pendenza media della salita.

La formula approssimata ci dice che la pendenza media è:

pendenza = 1000/10000 = 1/10 = 10%

Volendo fare i pignoli dovremmo invece prima calcolare il secondo cateto mediante teorema di Pitagora:

(C2)^2 = (10000)^2 – (1000)^2

da cui si ricava C2= 9949,874. Possiamo dunque calcolare la pendenza esatta:

pendenza = 1000/9949,874 = 0,100504 = 10,05%.

Come potete vedere l’errore è assolutamente accettabile, ma questa approssimazione può essere fatta però solo per pendenze “normali”. Affrontare una salita al 20% senza utilizzare il Teorema di Pitagora potrebbe invece rivelarsi una pazzia!