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La matematica brutta

In Matematica on maggio 2, 2009 at 1:19 pm

Hardy era solito affermare che non c’è posto al mondo per la matematica brutta. Una formula che possa spiegare in maniera soddisfacente un fenomeno matematico elementare non può che essere una formula bella e semplice.

Lo stesso Hardy si dovette ricredere quando il suo collega Ramanujan scoprì la bruttissima formula di partizione degli interi positivi.  Spieghiamo in cosa consista la partizione con un esempio:

In quanti modi diversi potete dividere un gruppo di cinque palline in gruppi distinti? Contiamoli assieme:

  1. cinque gruppi con una pallina ciascuno
  2. un gruppo con due palline e tre con una.
  3. due con due e uno con una
  4. uno con tre e due con una
  5. uno con tre e uno con due
  6. uno con quattro e uno con uno
  7. uno con cinque

In tutto abbiamo 7 possibili partizioni del numero 5.

Vediamo una tabellina che riporta i numeri di partizioni dei primi dieci numeri naturali:

Numero Partizioni
1 1
2 2
3 3
4 5
5 7
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42

Già a prima vista risulta difficile trovare una semplice formula, e anche l’utilizzo dei miei amati binomiali non ci aiuta molto.

Durante il diciannovesimo secolo si era ormai consolidata l’idea che non esistesse una formula in grado di descrivere l’andamento di questa successione, ma nel 1918 il matematico indiano Ramanujan stupì tutti, in primis il suo “scopritore” Hardy, con questa formula:

funzione di partizione

Questa formula (notate l’O grande) approssima il risultato, nel senso che restituisce un numero reale che approssimato dà come risultato il corretto numero di partizione.

Allora questa formula oltre ad essere brutta è pure insoddisfacente. In seguito, nel 1937, Rademacher migliorò la formula, rendendola forse meno insoddisfacente, ma certamente non meno brutta…

formula migliore ma brutta

Sembra un fatto secondario, la bellezza, ma non lo è affatto. Ora ve lo dimostro.

Un problema molto simile a quello della partizione è il seguente: “Quanti diversi sottogruppi di m elementi si possono formare a in un gruppo di n elementi?”.

Notate che i due problemi sono perlomeno simili. L’unica differenza è la risposta. La risposta alla seconda domanda è infatti affascinante e semplicissima: il binomiale n su m. La risposta dunque sta tutta in un numero che compare in probabilità, in statistica, in algebra, in teoria dei grafi, un po’ ovunque.

Sarà per questo che il problema della partizione non se lo incula nessuno, mentre il secondo è trattato già al primo anno in qualunque corso di Studi in Matematica di qualunque Università al mondo?

Le formule sono tratte da:

il blog di Biancoli

wikipedia

ne ringraziamo pertanto gli autori.

  1. Anche se non contribuisce molto alla comprensione, penso sarebbe curioso sapere che razza di indici sono scritti al di sotto della seconda sommatoria (causa bassa risoluzione, non si leggono) e cosa sia mai la misteriosa successione degli A_k (numeri di Aernulli ?)

    …comunque, io ero convinto che esistesse proprio una formula basata sui magnificienti binomiali…

    • Ahimè la formula non si basa sui magnifici binomiali, almeno non direttamente.

      trovi maggiori dettagli su
      http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html

      tra l’altro spiega anche cosa sia A (non ha molto a che fare con la successione di Bernoulli).

      gli indici delle sommatorie sono:

      prima sommatoria:
      a<= k <= N
      seconda sommatoria:
      h mod k (se ricordo bene)

      non conosco nel dettaglio la formula (proprio perchè è appunto brutta).

      A presto!

  2. Pardon: naturalmente intendevo AernOulli.

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