ippaso

Che combinazione!

In Uncategorized on agosto 13, 2009 at 11:25 am

Calcoliamo la probabilità che al SuperEnalotto accada… quello che sta accadendo.

Iniziamo col ricordarvi che dal 1° Luglio 2009 il Superenalotto costituisce un’estrazione a parte e non è più dato dal 1° estratto delle principali sei ruote nazionali. Questo fatto ha insospettito non poco gli appassionati. Le possibilità di brogli o di combine prima erano ridotte (c’era bisogno dell’accordo dei sei gruppi), ora sono chiaramente aumentate.

Ricordiamo che le combinazioni totali sono 622614630 e che da 6 mesi nessuno indovina la sestina vincente.
Combinazioni giocate (dati trovati su internet):

Marzo: 404 milioni

Aprile: 392 milioni

Maggio: 410 milioni

Giugno: 466 milioni

Luglio: 890 milioni

Agosto – Prima settimana: 130 milioni

Sommando le combinazioni giocate dal 1° marzo ad ora arriviamo a ben 2692 milioni di combinazioni giocate.
Bene. Consideriamo la variabile binomiale caratterizzata dai due parametri:

n = numero di prove effettuate = 2692000000

p = probabilità di successo di una singola prova = 1/622614630

La probabilità di avere k successi dopo n prove con una variabile binomiale vale:

P(X=k) = binom(n;k) * p^k * (1-p)^n-k

ma se calcoliamo la probabilità di avere 0 successi i primi due fattori si annullano e la formula si semplifica:

P(X=o) = (1-p)^n

Per farvi un esempio facile: la probabilità di lanciare tre volte un dado senza mai fare 6 vale:

5/6 * 5/6 * 5/6 = (5/6)^3=0,58=58%

Infatti la probabilità di non fare sei al primo lancio è 5/6, di non farlo al secondo 5/6, e di non farlo al terzo 5/6.
Ora possiamo calcolare la probabilità di avere 0 successi al SuperEnalotto su 2692000000 prove, utilizzando la formula P(X=o) = (1-p)^n:

P(X=0) = (622614629/622614630)^2692000000

La probabilità di avere 0 successi su 2692000000 sestine giocate al superenalotto vale quindi:

P(X=0) = (622614629/622614630)^2692000000 = 0,013 = 1,3%

Insomma, siamo di fronte ad un evento molto molto raro…

P.S.

Ho portato avanti i conti con un programma di Statistica apposito… e verrebbe da rifiutare l’ipotesi H0 che il gioco non sia truccato… Ma con questo post volevo solo avere una occasione per fare due conti di Calcolo delle Probabilità. Perciò mi fermo qui e non vi propongo una noiosissima analisi Statistica completa. Per ora…

  1. Calma calma, il numero di combinazioni giocate non tiene conto delle combinazioni doppie, e sono tantissime, visto che le persone giocano molto di più i numeri dei giorni (1-31) e mesi (1-12), oltre alle combinazioni particolari dal punto di vista grafico (le colonne, le righe, le diagonali).
    Credo la probabilità arrivi almeno al 3-4%, tenendone conto.

    Cmq mi potresti dire il link dove parlano delle combinazioni giocate? Non sono riuscito mai a trovarlo!
    Grazie

    • Ciao ZaX, anch’io mi ero posto il problema delle giocate “doppie”, ma non dovrebbero costituire un problema per l’utilizzo della binomiale. Quello che conta è il numero di tentativi di “azzeccare” la combinazione (non importa a priori se sono uguali). Forse la variabile aleatoria binomiale non è perfetta per descrivere il gioco ma è già molto indicativo il risultato. Comunque anche una probabilità del 3-4% sarebbe una probabilità molto molto bassa… insomma vien da dire “c’è del marcio in Danimarca!”. La probabilità che il 6 non sia ancora uscito dopo tutti questi tentativi desta più di un sospetto a livello statistico. In ogni caso spero prossimamente di riuscira a riportare un’analisi statistica più dettagliata (che sembrerebbe portare alla conclusione che il gioco sia trucato..!).
      Per quanto riguarda le fonti che mi chiedi hai ragione, non mi stupisce che tu non abbia mai trovato un link! I dati non sono molto facili da reperire, io ho fatto una ricerca per ogni mese. Qui per esempio ci sono i dati di Giugno-Luglio (ti tocca leggere un po’ gli articoli perchè i dati non sempre sono nel titolo o all’inizio):

      http://www.dire.it/agicos/Superenalotto/speciale_superenalotto.php?c=22917&m=26&l=it

      http://www.gazzettadiparma.it/primapagina/dettaglio/7/24659/Superenalotto:_in_luglio_lo_Stato_incassa_220_milioni_di_euro.html

      In altri casi ho trovato solo i dati delle spese delle giocate da cui ho ricavato il numero (0,50 centisimi a giocata):

      http://www.gioconews.it/generale/raccolta-gioco-primo-quadrimestre-2009-trend-positivo-del-10-155.html

      http://www.affaritaliani.it/entertainment/superenalotto_incassi290509.html

      Per Agosto mi sono riferito alle notizie sentite a qualche telegiornale (Marzo non è tra questi, se vuoi lo ricerco, non mi ero salvato i link).

      A presto, ciao!

      • Beh, il 4-5% di probabilità non sarebbe poco, sarebbe solo poco probabile, ma non abbastanza per parlare di “truffa”.

        Inoltre occhio perchè nel montepremi se non sbaglio ci vanno a finire anche i 50centesimi del numero superstar, che non dovresti includere nei calcoli per il 6… quindi questo “numero di combinazioni” cala ulteriormente!

        (e poi l’estrazione avviene in diretta ed è visibile dal sito Sisal)

        Giusto per far capire che non c’entra la truffa (probabilmente), è solo una questione di caso… sarebbe il caso di non giocare, quello di sicuro 🙂

        Ciao

  2. […] verificato un 6 è molto bassa: l’1,3%, insomma sembrerebbe trattarsi di una bella truffa. Qui potete trovare l’analisi […]

  3. ZaX non concordo.
    non bisogna preoccuparsi delle giocate doppie.

    se un problema chiede: qual è la probabilità che su 50 giocatori, lanciando un dado (da 1 e 6) nessuno indovini?
    non puoi mica dire: bisogna tenere conto che magari tutti puntano sullo stesso numero.

    le giocate sono indipendenti e si suppongono ignote a priori. devi considerare le “doppie” solo in caso di assenza di indipendenza (su numeri grandi come questi però va bene supporla) o conoscenza a priori delle sestine giocate… ma questa “conoscenza a priori” è proprio ciò che molti sospettano!😉

    bel blog!

  4. caro ippaso, tu hai preso una bella cantonata! tu non hai messo in conto che in quei 5 mesi ci sono state almeno 63 estrazioni, essendocene 3 a settimana! tu hai calcolato le combinazioni giocate in 5 mesi verso una singola estrazione. sbagliato, visto anche che ad ogni estrazione la percentuale di schedine diverse dalle precedenti è abbastanza alta! quindi ad ogni estrazione si riazzera tutto..

  5. Ho fatto solo una stima a priori della probabilità che accada che si giochino 2692 milioni di schedine senza avere un 6. Non è una vera analisi statistica.

    Ma veniamo alla tua critica: siccome le estrazioni sono indipendenti tra di loro, non ha alcuna importanza che le estrazioni siano state 63 e non 1. Ogni schedina ha 1/622614630 di probabilità di fare 6, questo è quel che conta. Del resto, anche nell’esempio del lancio del dado che ho portato, i lanci erano più di uno…

    Che poi la gente non giochi una sestina appena uscita, ma si giochi una delle altre 6 milioni e passa disponibili, è vero, ma non fa differenza.

    p.s.
    Questi conti (l’ho scritto anche a fondo articolo), sono solo un calcolo probabilistico a priori. Non hanno alcun valore statistico, né sono in grado di dire che il gioco sia truccato.

    In parole povere, non ho preso una cantonata, ma hai ragione a pensare che il metodo che ho utilizzato non permette di dire definitivamente che il superenalotto sia truccato.

    Comunque grazie per la visita e soprattutto grazie per il commento. Forse avrei dovuto puntualizzare meglio questi punti.

  6. Ben fatto ippaso.
    Credo che l’1,3% di probabilità sia certamente un evento raro, ma assolutamente possibile considerando il numero di concorsi e di vittorie assegnate in quasi 15 anni di superenalotto.
    Del resto statisticamente all’aumentare dei concorsi e degli “anni di vita” del superenalotto, anche il montepremi massimo raggiunto aumenta sempre…

    • Il post lo scrissi un anno fa, quando anche quella volta il premio balzò misteriosamente in alto.
      Quindi hai davvero ragione a sottolineare questo evento raro che accade sempre più frequentemente.

      Ciao!

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