ippaso

Frazioni continue

In Matematica on agosto 17, 2009 at 9:06 am

Le frazioni continue sono delle frazioni molto particolari: sono frazioni il cui denominatore continua, appunto, a scendere. Sono cioè oggetti di questo tipo:

dove le a sono dei numeri interi. Le frazioni continue sono oggetti di studio molto classici nella teoria dei numeri e vedono la luce la prima volta nel ‘500 ad opera di Bombelli e Cataldi. Furono però studiate sistematicamente solo più tardi nel ‘700 da Eulero, da cui partì un intenso studio e a cui si susseguirono grandi matematici come Jacobi, Lagrange, Galois e lo stesso Gauss.

Iniziamo in questo post a studiarne alcune sorprendenti proprietà. Una frazione continua finita, cioè il cui sviluppo a denominatore si ferma, rappresenta un numero razionale. Una frazione continua finita infatti si può riscrivere facilmente come rapporto di due numeri. Viceversa qualunque numero razionale si può scrivere come frazione continua finita.

fc

Ha senso considerare anche frazioni continue infinite, cioè il cui sviluppo a denominatore non termina mai. Frazioni continue infinite rappresentano numeri irrazionali. Dato un qualunque numero (razionale o irrazionale), è possibile ricavarne lo sviluppo in frazione continua tramite il seguente algoritmo, che non è altro che un’applicazione dell’algoritmo di Euclide per il massimo comun divisore:

fc2

L’algoritmo parte per k=0 e fornisce le a dello sviluppo in frazione continua di un numero di partenza che si indicherà con alpha_0. Con le parentesi quadre si indica la parte intera del numero contenuto. Se il numero di partenza è un irrazionale, allora l’algoritmo non termina mai.

Proprio sulla rappresentazione in frazione continua dei numeri irrazionali si scopre una sorprendente proprietà. Eulero e Lagrange dimostrarono che una frazione continua infinita periodica rappresenta sempre un’irrazionalità quadratica e viceversa. Per irrazionalità quadratiche intendiamo numeri che coinvolgono le radici quadrate di un numero. Una frazione continua periodica è una frazione continua in cui le a ad un certo punto si ripetono periodicamente sempre uguali. Per esempio:

fc3

Questo fatto è straordinario. Infatti i numeri irrazionali sono qualcosa che per loro natura sfuggono appunto alla razionalità o alla regolarità. Siamo abituati a pensare a loro come numeri “che non si possono scrivere”. Nel senso che non si possono scrivere come rapporto di altri due numeri, ma nemmeno in forma decimale sono scrivibili in quanto hanno uno sviluppo dopo la virgola che non si ripete. La radice di 2, per esempio, è il numero 1,41421356237…

Con le frazioni continue invece possiamo “scrivere” e dare regolarità perlomeno a tutte le radici quadrate. Hermite nel 1848 si chiese se esistesse un modo, generalizzando le frazioni continue, per “scrivere” tutti i numeri irrazionali algebrici, cioè tutti i numeri che coinvolgono radici quadrate, cubiche, quarte, ecc… Il problema è tuttora irrisolto.

  1. Se lo dici così, caro Ippaso, il tuo problema ha una soluzione ormai più che centenaria: si chiama ENUMERAZIONE…
    I numeri algebrici sono numerabili (dimostrazione abbastanza ovvia), e presumibilmente in modo effettivo.
    Dài allora come nome a ciascun numero la sua posizione nell’enumerazione.

    Come diceva un certo Messia, il problema è mal posto: questa “scrittura” del numero dovrebbe avere un qualche legame con la scrittura decimale del numero? O dovrebbe forse essere una costruzione che _converge_ in qualche senso al numero?
    Ippà, la tua divulgazione supera di gran lunga il livello-Zichichi; ma ora ergiti al di sopra del livello-PGO, e non abbandonare noiilpopolobue nel tristo pozzo dell’ignoranza!

    • Io sono IPPASO, il mio compito è svelare la VERITA’ e squarciare il velo dell’ignornanza!
      S.Zossimo nelle tue domande hai volutamente celato la risposta che già conosci, sento in te l’arroganza dei GIUSTI! Quell’arroganza che ha guidato anche me nella mia guerra agli dei… O dei dell’olimpo un nuovo ippaso è dunque sorto sulla terra, lasciate in pace le mie budella e prendete le sue!

      Rispondendoti: in effetti ho commesso un “abuso” di notazione… nel senso che ho voluto utilizzare impropriamente il termine “scrivere” per rendere il post più accattivante e meno tecnico (in modo che fosse accesibile al più vasto numero di persone posibile). E’ evidente che la “scrittura” di cui stiamo parlando non c’entra nulla con l’enumerazione…
      E’ ovvio che posso scrivere tutti i numeri irrazionali, nel senso che per esempio radice di due la posso scrivere come sqrt(2) ecc…
      La questione l’hai individuata nella tua seconda domanda!
      Ti lascio con le sibilline parole dello stesso Hermite quando pose il problema a Jacobi come sfida:

      “Find methods for writing numbers that reflect
      special algebraic properties”

  2. […] su Frazioni continue e sezione…indio su Il paradosso dei gemelli …ippaso su Frazioni continueS.Zossimo su Frazioni continueAncora nessun sei: S… su Che combinazione!Beneficenza […]

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