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Approssimazione diofantea

In Uncategorized on ottobre 9, 2009 at 11:41 pm

L’approssimazione diofantea consiste nell’approssimare i numeri irrazionali attraverso numeri razionali. L’aggettivo “diofanteo” deriva dal matematico greco Diofanto di Alessandria, uno dei primi grandi studiosi della teoria dei numeri.

Saper approssimare i numeri irrazionali è di fondamentale importanza per poter svolgere calcoli con essi. Infatti un numero irrazionale è per ovvi motivi aritmeticamente intrattabile. Per servirsi di essi, per esempio per calcolare un’area, una traiettoria, ecc…, è necessario saperli approssimare in maniera soddisfacente con numeri utilizzabili per i calcoli, cioè numeri razionali.

Il primo numero irrazionale approssimato in maniera soddisfacente con numeri razionali fu pi greco. Autore di tale grande risultato fu Archimede di Siracusa (circa 287 A. C.) nell’opera “Misura del Cerchio”. La dimostrazione dell’irrazionalità di pi greco fu data solo nel 1768 da Jean H. Lambert. Tuttavia Archimede doveva averne intuito la sua natura irrazionale dal momento che non tentò, come fecero in molti prima e dopo di lui, di esprimerlo come il rapporto di due numeri interi. La brillante, quanto semplice, idea di Archimede consisteva nel considerare, come approssimazione per difetto di pi greco, il semiperimetro di un poligono regolare inscritto nella circonferenza di raggio unitario e come valore per eccesso, quello di un poligono regolare circoscritto. Tramite tali calcoli Archimede arrivò alla celebre limitazione di pi greco:pigrecoQuesta come vedremo è un’ottima approssimazione di pi greco.

In approssimazione Diofantea dato un numero reale x ci interessa ricercare razionali r/s che rendano minima la distanza |x-r/s|. Fissato s tale distanza è minima quando r è l’intero più vicino a sx. Trovato l’intero r che soddisfa tale condizione si dice allora che r/s è la “migliore” approssimazione di x di complessità s (cioè con denominatore minore o uguale a s). Queste “migliori” approssimazioni si trovano attraverso le frazioni continue.

Consideriamo lo sviluppo in frazione continua di un numero irrazionale:

In luogo della frazione continua scritta sopra useremo per indicarla la notazione più sintetica x=[a_0,a_1,a_2,a_3,…]. come visto nel primo post sulle frazioni continue tale sviluppoè infinito. Le frazioni continue finite del tipo [a_0,a_1,…,a_n] sono numeri razionali e si chiamano convergenti della frazione continua di x. Si può dimostrare che tali convergenti forniscono le migliori approssimazioni del numero irrazionale in questione.

Lo sviluppo in frazione continua di pi greco è [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, …]. Consideriamo allora la frazione continua finita [3,7]. Questo convergente di pi greco ne è una sua ottima approssimazione e coincide con uno dei valori trovati da Archimede. Infatti [3,7] è la scrittura sintetica di 3+1/7.

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