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Gilbreath’s conjecture

In Uncategorized on agosto 11, 2010 at 4:08 pm

Un certo Norman Gilbreath, esperto informatico e mago dilettante, propose negli anni ’50 una congettura sui numeri primi molto affascinante. Possiamo definirlo un principio di teoria additiva dei numeri, in quanto analizza la distanza tra i vari numeri primi.

Prendiamo la sequenza di primi:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 …

adesso generiamo la sequenza delle distanze tra questi (in valore assoluto, ovvero senza considerare il segno + o ). Otteniamo:

1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 …

dove banalmente 1 è la distanza tra 2 e 3, 2 è la distanza tra 3 e 5, e così via. Riapplichiamo il procedimento sulla nuova sequenza. Troviamo la nuova successione:

1 0 2 2 2 2 2 2 4 …

Reiteriamo ancora qualche volta:

1 2 0 0 0 0 0 2 …

1 2 0 0 0 0 2 …

1 2 0 0 0 2 …

L’ipotesi afferma che tutte queste successioni inizieranno sempre per 1. Odlyzko, che in quanto a prove sperimentali forse è il migliore al mondo (lo ricordiamo al lavoro anche sull’Ipotesi di Riemann), ha spinto i propri calcolatori fino alla sequenza numero 3,4 * 10^11 (nel 1993) e non ha trovato controesempi.

Il buon Gilbreath era un mago, e amava stupire gli spettatori con pure illusioni. Ma questa sua magia matematica… è anch’essa un’illusione oppure no? Finora il trucco, se c’è, non è stato ancora svelato.

Quando ho scoperto la congettura sono rimasto a bocca aperta. Infatti supponendo la verità di questa, possiamo immaginare di partire dal fatto che tutte le sequenze iniziano per 1 e ottenere informazioni preziosissime sulla disposizione dei numeri primi all’interno dei naturali.

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